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Cas particulier : peigne de Dirac
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courantCas particulier : peigne de Dirac

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Définition : on définit le peigne de Dirac de période par la relation suivante :
peigne de Dirac analytique(1.25)
Il se représente graphiquement comme suit :
peigne de Dirac graphique
Propriété : le peigne de Dirac est un signal périodique, de période T il est donc "développable en série de Fourier" :
Encore une expression analytique du peigne...
Chacun des coefficients delta_n vaut en vertu de la formule 1.23 :
Expression de delta_n
soit :
on développe...
Dans cette somme infinie, seul le terme pour n=0 est non nul (les autres "delta(t-nT)" sont nuls sur l'intervalle [-T/2;+T/2]. Il vient donc :
on simplifie...
Et en utilisant la formule 1.18 il vient
delta_n=1/T
En notant Delta_T(nu) la transformée de Fourier du peigne delta_T, il vient donc :
on simplifie encore...
On peut alors retenir le résultat suivant :
La transformée de Fourier d'un peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (en fréquence).
Corollaire : Autre formule du peigne de Dirac. Utilisons la relation 1.4 de la transformée de Fourier inverse :
un peu de cuisine...
On applique alors la propriété 1.19, et il vient :
autre expression du peigne
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