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Fonction de transfert

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Soit S un système linéaire invariant, et h sa réponse impulsionnelle. Appliquons à l'entrée de S le signal x(t)=x0est, avec s élement de C. En utilisant la relation 1.27, il vient :
On applique...
Soit encore, en utilisant la commutativité de la convolution (formule 1.13) :
On commute...
On peut alors "sortir" est de l'intégrale :
On sort...
Le premier terme du produit est en fait x(t). Le deuxième terme du produit ne dépend pas du temps, mais seulement de la variable s. Pour les mathématiciens, ces deux remarques se traduisent par la constatation que les signaux de la forme est sont des signaux propres du système S. On note le deuxième terme H(s) :
Expression de H(s)
Hest appelée fonction de transfert de S. Dans le cas particulier où s=2jpi nu, on reconnaît dans l'expression précédente la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle h, et on parle alors de la fonction de transfert en régime harmonique.

La fonction de transfert en régime harmonique est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle, soit :
Reformulation de H(s) dans le cas harmonique(1.28)

Fonction de transfert et représentation complexe : On a démontré que pour un système linéaire invariant S, de fonction de transfert H(s) dans le cas où l'entrée était de la forme x(t)=x0est, on avait la relation suivante entre l'entrée x et la sortie y : y(t)=H(s)x(t). Lorsque l'on utilise la représentation complexe, en écrivant exp(j omega t), la relation qui apparaît lie directement les représentations complexes de l'entrée et de la sortie, et la fonction de transfert en régime harmonique :
y(t)=x(t)H(j omega)

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