Cours de génie électrique - Systèmes analogiques - Bruit dans les composants - Densité spectrale de puissance

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Densité spectrale de puissance

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On rappelle que le spectre⁽¹⁾ d'un signal est le module de sa transformée de Fourier. On définit la densité spectrale de puissance comme étant le carré du module de la transformée de Fourier. Ainsi, si x est un signal et X sa transformée de Fourier, sa densité spectrale de puissance vaut

D_x = |X()|²

Il existe une autre expression de la densité spectrale de puissance. Introduisons la notion de fonction d'autocorrélation d'un signal x à temps continu :

Prise au point

, cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de

. Calculons sa transformée de Fourier

(

) :

Cette expression peut se mettre sous la forme :

On effectue dans l'intégrale le changement de variable u=t+

et il vient :

Soit encore :

On effectue le changement de variable u=-t et on obtient :

On reconnaît dans le deuxième terme la transformée de Fourier de x*(-t). Or d'après la propriété 1.11, la transformée de Fourier de x* vaut X*(-

), et d'après 1.10, la transformée de Fourier de x(-t) vaut X(-

). Le deuxième terme vaut donc X*(j

), donc

(j

) =X(j

) X*(j

) =|X(j

)|² : la densité spectrale de puissance est aussi la transformée de Fourier de l'autocorrélation.

cf. le paragraphe 1.2.1.2
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