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Densité spectrale de puissance

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On rappelle que le spectre (1) d'un signal est le module de sa transformée de Fourier. On définit la densité spectrale de puissance comme étant le carré du module de la transformée de Fourier. Ainsi, si x est un signal et X sa transformée de Fourier, sa densité spectrale de puissance vaut

Dx = |X(nu)|2

Il existe une autre expression de la densité spectrale de puissance. Introduisons la notion de fonction d'autocorrélation d'un signal x à temps continu :

gamma(tau)=integral(-infini a +infini) x*(t)x(t+ tau)dt où * est la conjugaison complexe.

Prise au point tau, cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de tau. Calculons sa transformée de Fourier Gamma(nu) :

Calcul de Gamma(j.omega)

Cette expression peut se mettre sous la forme :

suite du calcul

On effectue dans l'intégrale le changement de variable u=t+tau et il vient :

suite...

Soit encore :

suite...

On effectue le changement de variable u=-t et on obtient :

X(j.omega).X*(j.omega)

On reconnaît dans le deuxième terme la transformée de Fourier de x*(-t). Or d'après la propriété 1.11, la transformée de Fourier de x* vaut X*(-nu), et d'après 1.10, la transformée de Fourier de x(-t) vaut X(-nu). Le deuxième terme vaut donc X*(jomega), donc (j ) =X(j) X*(j) =|X(j)|2 : la densité spectrale de puissance est aussi la transformée de Fourier de l'autocorrélation.
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  1. cf. le paragraphe 1.2.1.2
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