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Impulsion de Dirac
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Représentation de Fourier des signaux d'énergie infinie
courantImpulsion de Dirac
Spectre des signaux périodiques
Cas particulier : peigne de Dirac

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Définition : on introduit delta(t), noté impulsion de Dirac(1), défini par sa transformée de Fourier, tel que :
delta(t)(1.16)
où 1 désigne la fonction uniformément égale à 1 sur R. Plus "physiquement", delta est la limite quand T->0 du signal suivant :
porte de surface finie
On représente graphiquement cette impulsion ainsi :
représentation du pic de Dirac
Propriétés : soit x un signal à temps continu, d'énergie finie.
  1. Calculons TF[x delta] : il s'agit de la transformée de Fourier d'un produit, donc en appliquant la formule 1.15, le résultat est la convolution des deux transformées de Fourier :
    TF[x(t)delta(t)]
    On écrit 1=exp(2j.pi.nu.0), et on obtient :
    TF[x(t)delta(t)]
    Or le membre de droite n'est autre que la valeur prise par x(t) en t=0 (cf. définition 1.4 de la transformée de Fourier inverse). Il vient donc :
    TF[x(t)delta(t)]=x(0)(1.17)
    En particulier, pour nu=0, on obtient facilement :
    Cas particulier...(1.18)
    En généralisant, on obtient également facilement par un changement de variable :
    en t=t0(1.19)
  2. Calculons également (x*delta)(t) :
    petite cuisine...
    L'impulsion de Dirac est donc l'élément neutre de la convolution.
  3. La définition 1.16 se traduit par :
    reformulation
    mais également par symétrie entre les relations 1.3 et 1.4, par :
    autre définition de delta(1.20)
  4. Impulsion de Dirac et échelon de Heaviside. L'échelon de Heaviside est défini par :
    échelon de Heaviside
    Soient a et b deux réels non nuls, b>a. Calculons intégrale I :
    intégration par parties
    en utilisant une intégration par parties (cf. note 1 du paragraphe 1.2.2.3). Trois cas se présentent alors :
    1. a>0 et b>0 : alors u(b)=u(a)=1, et

      I=u(b)x(b)-u(a)x(a)-[x(b)-x(a)]=0

    2. a<0 et b<0 : alors u(b)=u(a)=0, et
      intégration par parties
    3. a<0 et b<0 : alors u(b)=1 et u(a)=0, et
      intégration par parties
    4. Cette relation devant être vérifiée quels que soient a et b, on obtient :
      I=x(0)
    En comparant avec la relation 1.18, et ces égalités devant être vérifiées quel que soit le signal x, il vient donc que
    u(t)=delta(t))(1.21)
    La dérivée de l'échelon de Heaviside est l'impulsion de Dirac.
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  1. On dit aussi parfois "pic" de Dirac.
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